Diferencia entre ay, hay y ahí.

¡Ay! 

Esta palabra NO lleva hache al principio. Y debes pensar en ella como una exclamación, una expresión del ánimo, asombro, dolor, ansiedad.

Por ejemplo, ¡Ay, qué dolor! ¡Ay, qué triste! ¡Ay, no puedo dormir! 

Hay

En este caso, la palabra a diferencia del anterior SÍ empieza por H y pertenece al verbo Haber. Corresponde a una forma impersonal del verbo para expresar la existencia de algo. 

Por ejemplo, “Hay clase a las siete”, “Hay cervezas en la nevera”… y  también como obligación, “Hay que limpiar el baño, “Hay que hacer los deberes”.

Ahí

Esta con la h intercalada entre la A y la í con tilde es un adverbio de lugar  y señala la existencia de una distancia media entre personas o cosas. Por ejemplo, “El librol está ahí”, “Claudia ha dejado su teléfono ahí y se ha ido allí a estudiar”. Es el adverbio contrapuesto a la forma allí, que indica más lejanía.

!Ay qué lindo, ahí no hay error!

Hay es una forma del verbo haber: «allí hay muchos árboles».

Ahí es un adverbio: «déjalo ahí, sobre la mesa».

Ay es una interjección que indica dolor o temor: «¡ay de mí!». (FUNDEÚ.ES)Fundéu BBVA - Fundación del español urgente